圏 $\mathrm{Tycho}$ の完全な圏論的性質：生成子・余生成子、単射的・射影的対象と極限・余極限

証明 (十分性): $m$ が単射な連続写像であるとする。任意の対象 $Z$ と射 $u, v: Z \to X$ に対して $m \circ u = m \circ v$ が成り立つとする。$m$ は単射であるから、任意の $z \in Z$ について $m(u(z)) = m(v(z))$ より $u(z) = v(z)$ を得る。したがって $u = v$ となり、$m$ は単射 (monomorphism) である。

(必要性): $m$ が単射 (monomorphism) であるとする。$X$ の異なる 2点 $x_1, x_2$ に対して $m(x_1) = m(x_2)$ となったと仮定する。対象 $Z$ を 1点空間 $\{*\}$ とし、射 $u, v: Z \to X$ を $u(*) = x_1, v(*) = x_2$ と定義する。1点空間から任意の空間への写像は常に連続である。このとき $m \circ u = m \circ v$ であるが $u \neq v$ となり、単射の定義に矛盾する。よって $m$ は集合論的に単射である。(証明終)

証明 (十分性): $e(X)$ が $Y$ において稠密であるとする。2つの射 $u, v: Y \to Z$ が $u \circ e = v \circ e$ を満たすとする。すなわち、任意の $x \in X$ に対して $u(e(x)) = v(e(x))$ である。$Z$ は Hausdorff空間 であるため、連続写像の一致する点の集合 $A = \{y \in Y \mid u(y) = v(y)\}$ は $Y$ の閉集合である。この閉集合 $A$ は稠密な部分集合 $e(X)$ を含む。部分集合が稠密であることの定義から、その閉包は空間全体に等しいため、$\overline{e(X)} = Y$ である。したがって $Y = \overline{e(X)} \subset A \subset Y$ となり、$A = Y$ を得る。よって $u = v$ となり、$e$ は全射 (epimorphism) である。

(必要性): $e(X)$ が $Y$ で稠密でないとする。すなわち、ある点 $y_0 \in Y$ が存在して $y_0 \notin \overline{e(X)}$ である。$Y$ は完全正則であるため、点 $y_0$ と閉集合 $\overline{e(X)}$ を分離する連続写像が存在する。すなわち、連続写像 $u: Y \to [0, 1]$ で、$u(\overline{e(X)}) = \{0\}$ かつ $u(y_0) = 1$ を満たすものが存在する。一方、定数写像 $v: Y \to [0, 1]$ をすべての $y \in Y$ に対して $v(y) = 0$ と定める。このとき、任意の $x \in X$ について $e(x) \in \overline{e(X)}$ であるから $u(e(x)) = 0 = v(e(x))$ であり、$u \circ e = v \circ e$ が成り立つ。しかし $u(y_0) = 1 \neq 0 = v(y_0)$ より $u \neq v$ である。したがって $e$ は全射 (epimorphism) ではない。(証明終)

証明 1点空間 $G = \{*\}$ が生成子の定義を満たすことを示す。$\mathrm{Tycho}$ の対象 $X, Y$ と異なる射 $u, v: X \to Y$ が与えられたとする。$u \neq v$ であるから、ある点 $x_0 \in X$ が存在して $u(x_0) \neq v(x_0)$ が成り立つ。
ここで、1点空間 $G$ から $X$ への写像 $f: G \to X$ を $f(*) = x_0$ と定義する。1点空間を始域とする任意の写像は連続であるため、$f$ は $\mathrm{Tycho}$ の射である。
このとき、合成射 $u \circ f$ と $v \circ f$ を点 $*$ において評価すると、 $$ (u \circ f)(*) = u(f(*)) = u(x_0) $$ $$ (v \circ f)(*) = v(f(*)) = v(x_0) $$ となる。$u(x_0) \neq v(x_0)$ であるから、$(u \circ f)(*) \neq (v \circ f)(*)$ であり、したがって $u \circ f \neq v \circ f$ が成り立つ。これにより、1点空間 $\{*\}$ は生成子であることが示された。(証明終)

証明 前半として、$[0, 1]$ が余生成子であることを示す。$\mathrm{Tycho}$ の対象 $X, Y$ と異なる射 $u, v: X \to Y$ が与えられたとする。$u \neq v$ であるから、$u(x_0) \neq v(x_0)$ となる点 $x_0 \in X$ が存在する。$Y$ は Tychonoff空間 であるため、とくに完全正則 (completely regular) かつ Hausdorff空間 である。1点からなる集合 $\{v(x_0)\}$ は $Y$ が Hausdorff空間 であることから閉集合である。完全正則性の定義により、点 $u(x_0)$ と、それを含まない閉集合 $\{v(x_0)\}$ を分離する連続写像 $h: Y \to [0, 1]$ が存在する。すなわち、$h(u(x_0)) = 0$ かつ $h(v(x_0)) = 1$ を満たす。
このとき、合成射 $h \circ u, h \circ v: X \to [0, 1]$ を考えると、$h(u(x_0)) = 0 \neq 1 = h(v(x_0))$ となるため、$h \circ u \neq h \circ v$ である。したがって $[0, 1]$ は余生成子の定義を満たす。

後半として、$[0, 1]$ が単射的対象ではないことを示す。対象 $X = (0, 1)$ と $Y = [0, 1]$ を考える。包含写像 $m: (0, 1) \to [0, 1]$ は単射な連続写像であるため、命題 2.1 より $\mathrm{Tycho}$ における単射 (monomorphism) である。
連続写像 $f: (0, 1) \to [0, 1]$ を $f(x) = |\sin(1/x)|$ と定義する。$[0, 1]$ が単射的対象であると仮定すると、$g \circ m = f$ を満たす連続写像 $g: [0, 1] \to [0, 1]$ が存在しなければならない。
しかし、$g$ は $[0, 1]$ 全体で連続であるため、$x \to +0$ のときの極限 $\lim_{x \to +0} g(x)$ は $g(0)$ として存在しなければならない。一方、$x \in (0, 1)$ において $g(x) = g(m(x)) = f(x) = |\sin(1/x)|$ であり、$x \to +0$ のとき $|\sin(1/x)|$ は $0$ と $1$ の間を無限回振動し、極限を持たない。これは $g$ が $0$ において連続であることに矛盾する。したがって $[0, 1]$ は単射的対象ではない。(証明終)

証明 前半として、$\mathbb{R}$ が余生成子であることを示す。命題 4.1 の証明と同様にして、異なる射 $u, v: X \to Y$ に対して、連続写像 $h: Y \to [0, 1]$ で $h \circ u \neq h \circ v$ を満たすものが存在する。包含写像 $i: [0, 1] \to \mathbb{R}$ は連続であるため、合成写像 $h' = i \circ h: Y \to \mathbb{R}$ も連続写像（すなわち $\mathrm{Tycho}$ の射）である。このとき $h'(u(x_0)) = 0 \neq 1 = h'(v(x_0))$ となるため、$h' \circ u \neq h' \circ v$ となる。したがって $\mathbb{R}$ は余生成子である。

後半として、$\mathbb{R}$ が単射的対象ではないことを示す。対象 $X = (0, 1)$ と $Y = [0, 1]$ を考える。包含写像 $m: (0, 1) \to [0, 1]$ は単射 (monomorphism) である。
連続写像 $f: (0, 1) \to \mathbb{R}$ を $f(x) = 1/x$ と定義する。$\mathbb{R}$ が単射的対象であると仮定すると、$g \circ m = f$ を満たす連続写像 $g: [0, 1] \to \mathbb{R}$ が存在しなければならない。
しかし、区間 $[0, 1]$ はコンパクト空間 (compact space) であるため、連続写像 $g$ による像 $g([0, 1])$ は $\mathbb{R}$ のコンパクト部分集合、すなわち有界閉集合 (bounded closed set) となる。一方、$x \to +0$ のとき $f(x) \to \infty$ となるため、$f$ の像は非有界である。任意の $x \in (0, 1)$ に対して $g(m(x)) = f(x)$ より $g$ の像も非有界とならなければならず、これは $g([0, 1])$ が有界であることに矛盾する。したがって $\mathbb{R}$ は単射的対象ではない。(証明終)

証明 まず、1点空間 $P = \{*\}$ が単射的対象であることを示す。任意の単射 $m: X \to Y$ と射 $f: X \to P$ に対して、$g: Y \to P$ をすべての $y \in Y$ を $*$ に写す定数写像と定義すれば、明らかに $g \circ m = f$ が成り立つ。したがって 1点空間は単射的対象である。

次に、これ以外の空間が単射的対象にならないことを背理法により示す。$I \in \mathrm{Tycho}$ を単射的対象であると仮定する。

第 1 段階として、$I \neq \varnothing$ を示す。仮に $I = \varnothing$ であるとする。対象 $X = \varnothing$ と $Y = \{*\}$ (1点空間) を考える。包含写像 $m: \varnothing \to \{*\}$ は単射な連続写像であるため、単射 (monomorphism) である。射 $f: \varnothing \to \varnothing$ が与えられたとき、$g \circ m = f$ を満たす射 $g: \{*\} \to \varnothing$ が存在しなければならない。しかし、空でない空間から空集合への写像は存在しないため矛盾する。よって $I \neq \varnothing$ である。

第 2 段階として、$I$ が 2つ以上の異なる点を持つことはできないことを示す。$I$ に異なる 2点 $a, b \in I$ が存在すると仮定する。$I$ は完全正則であるため、連続写像 $\varphi: I \to [0, 1]$ で $\varphi(a) = 0$ かつ $\varphi(b) = 1$ を満たすものが存在する。
また、対象 $D = \{0, 1\}$ (離散位相を入れた 2点空間) と $Y = [0, 1]$ を考える。包含写像 $m_0: \{0, 1\} \to [0, 1]$ は単射 (monomorphism) である。射 $f_0: \{0, 1\} \to I$ を $f_0(0) = a, f_0(1) = b$ と定義する。$I$ は単射的対象であるから、$g \circ m_0 = f_0$ を満たす連続写像 $g: [0, 1] \to I$ が存在する。これは $g(0) = a, g(1) = b$ を満たす道 (path) である。

ここで、対象 $X = (0, 1)$ と $Y = [0, 1]$ を考え、単射 (monomorphism) である包含写像 $m: (0, 1) \to [0, 1]$ をとる。連続写像 $f: (0, 1) \to I$ を、すべての $t \in (0, 1)$ に対して $$ f(t) = g(\sin^2(1/t)) $$ と定義する。$I$ は単射的対象であるため、$F \circ m = f$ を満たす連続写像 $F: [0, 1] \to I$ が存在する。
$F$ は $[0, 1]$ 上で連続であるから、$t \to +0$ のときの極限 $\lim_{t \to +0} F(t) = F(0) \in I$ が存在する。したがって、合成関数 $\varphi \circ F$ も $t \to +0$ で $\varphi(F(0))$ に収束しなければならない。
しかし、$t \in (0, 1)$ において $\varphi(F(t)) = \varphi(f(t)) = \varphi(g(\sin^2(1/t)))$ である。関数 $\sin^2(1/t)$ は $t \to +0$ において区間 $[0, 1]$ 全体を無限回往復する。$\varphi(g(0)) = \varphi(a) = 0$ および $\varphi(g(1)) = \varphi(b) = 1$ であるため、$\varphi(F(t))$ は $t \to +0$ に伴い $0$ と $1$ の間を無限回振動し、極限を持たない。これは $F$ の連続性に矛盾する。
したがって、$I$ は 2つ以上の点を持つことはできず、$I$ は 1点空間でなければならない。(証明終)

証明 まず、空集合 $\varnothing$ が射影的対象であることを示す。任意の全射 $e: X \to Y$ と射 $f: \varnothing \to Y$ が与えられたとする。$\varnothing$ を始域とする写像は空写像のみであるため、$g: \varnothing \to X$ を空写像とすれば、$e \circ g = f$ は自明に成り立つ。よって $\varnothing$ は射影的対象である。

次に、空でない対象が射影的対象にはならないことを示す。$P \in \mathrm{Tycho}$ を空でない射影的対象であると仮定する。$P$ は少なくとも 1つの点 $p_0 \in P$ を持つ。
対象 $X = (0, 1]$ と $Y = [0, 1]$ を考える。包含写像 $e: (0, 1] \to [0, 1]$ は、その像が $Y$ において稠密であるため、命題 2.2 より $\mathrm{Tycho}$ における全射 (epimorphism) である。
射 $f: P \to Y$ を、すべての $p \in P$ に対して $f(p) = 0$ となる定数写像として定義する。定数写像は明らかに連続写像である。
$P$ が射影的対象であるという仮定から、$e \circ g = f$ を満たす連続写像 $g: P \to X$ が存在しなければならない。
この等式を点 $p_0 \in P$ について評価すると、 $$ e(g(p_0)) = f(p_0) = 0 $$ となる。$e$ は包含写像であるため、これは $g(p_0) = 0$ を意味する。しかし、$g$ の終域は $X = (0, 1]$ であり、$0 \notin X$ であるため、このような $g(p_0) \in X$ は存在し得ない。これは矛盾である。
したがって、空でない射影的対象は存在しない。(証明終)

証明 第 1 段階として、$\mathrm{Tycho}$ における積の存在を示す。対象の族 $(X_i)_{i \in I}$ が与えられたとする。これらはすべて Tychonoff 空間である。位相空間の圏 $\mathrm{Top}$ における直積に積位相を入れた空間 $X = \prod_{i \in I} X_i$ を考える。
まず $X$ が Hausdorff空間 であることを示す。$X$ の異なる 2 点 $x = (x_i), y = (y_i)$ をとると、ある添字 $j \in I$ について $x_j \neq y_j$ である。$X_j$ は Hausdorff空間 であるから、互いに素な開集合 $U, V \subset X_j$ で $x_j \in U, y_j \in V$ を満たすものが存在する。射影 $p_j: X \to X_j$ は連続であるため、$p_j^{-1}(U)$ と $p_j^{-1}(V)$ は $X$ の互いに素な開集合であり、それぞれ $x$ と $y$ を含む。よって $X$ は Hausdorff空間 である。
次に $X$ が完全正則 (completely regular) であることを示す。点 $x \in X$ と $x$ を含まない閉集合 $F \subset X$ をとる。積位相の定義より、$x$ を含む基本開集合 $W = p_{j_1}^{-1}(O_1) \cap \cdots \cap p_{j_n}^{-1}(O_n)$ で $W \subset X \smallsetminus F$ となるものが存在する。ここで各 $O_k$ は $X_{j_k}$ の開集合であり、$x_{j_k} \in O_k$ である。
各 $k = 1, \dots, n$ について、$X_{j_k}$ は完全正則であるため、連続写像 $f_k: X_{j_k} \to [0, 1]$ で $f_k(x_{j_k}) = 1$ かつ $f_k(X_{j_k} \smallsetminus O_k) = \{0\}$ を満たすものが存在する。
連続写像 $f: X \to [0, 1]$ を $$ f(y) = \min \{ f_1(p_{j_1}(y)), \dots, f_n(p_{j_n}(y)) \} $$ と定義する。すると $f(x) = 1$ であり、 $y \notin W$ ならばある $k$ について $p_{j_k}(y) \notin O_k$ となるため $f(y) = 0$ となる。したがって $F \subset X \smallsetminus W$ 上で $f = 0$ である。よって $X$ は完全正則である。
以上より $X$ は Tychonoff 空間であり、$\mathrm{Tycho}$ の対象である。射影 $p_i$ も連続であるため、$X$ は $\mathrm{Tycho}$ における積 (product) となる。

第 2 段階として、$\mathrm{Tycho}$ におけるイコライザの存在を示す。対象 $X, Y$ と射の対 $f, g: X \to Y$ が与えられたとする。位相空間の圏におけるイコライザは、一致する点の集合 $E = \{x \in X \mid f(x) = g(x)\}$ に部分空間位相 (subspace topology) を入れた空間と、包含写像 $m: E \to X$ の組である。
Tychonoff 空間の部分空間は再び Tychonoff 空間になることを示す。
$E$ が Hausdorff空間 であることは、$X$ が Hausdorff空間 であることから明らかである。
$E$ が完全正則であることについて、点 $x \in E$ と $E$ における閉集合 $C \subset E$ で $x \notin C$ となるものをとる。部分空間位相の定義より、$X$ の閉集合 $F$ が存在して $C = F \cap E$ と書ける。$x \notin F$ であるから、$X$ の完全正則性より、連続写像 $h: X \to [0, 1]$ で $h(x) = 1$ かつ $h(F) = \{0\}$ を満たすものが存在する。$h$ を $E$ に制限した写像 $h|_E: E \to [0, 1]$ は連続であり、$h|_E(x) = 1$ かつ $h|_E(C) = \{0\}$ を満たす。よって $E$ は完全正則である。
したがって $E$ は $\mathrm{Tycho}$ の対象であり、$m: E \to X$ は $\mathrm{Tycho}$ におけるイコライザとなる。

以上より、$\mathrm{Tycho}$ は積とイコライザを持つため完備であり、その極限は $\mathrm{Top}$ における構成と一致する。(証明終)

証明 位相空間 $X$ が与えられたとする。$X$ から実数空間 $\mathbb{R}$ へのすべての連続写像の集合を $C(X, \mathbb{R})$ とおく。
評価写像 (evaluation map) $\Phi: X \to \mathbb{R}^{C(X, \mathbb{R})}$ を、各 $x \in X$ に対して $$ \Phi(x) = (h(x))_{h \in C(X, \mathbb{R})} $$ と定義する。$\mathbb{R}$ は Tychonoff 空間であり、定理 7.2 で示した通り Tychonoff 空間の任意の積空間は Tychonoff 空間であるため、積空間 $\mathbb{R}^{C(X, \mathbb{R})}$ は Tychonoff 空間である。
対象 $T(X)$ を、$\Phi$ の像 $\Phi(X)$ に部分空間位相を入れた空間と定義する。Tychonoff 空間の部分空間は Tychonoff 空間であるから、$T(X) \in \mathrm{Tycho}$ である。
写像 $\tau_X: X \to T(X)$ を、すべての $x \in X$ について $\tau_X(x) = \Phi(x)$ と定義する。各成分への射影 $p_h \circ \Phi = h$ が連続であるため、$\Phi$ は連続であり、したがって $\tau_X$ も連続である。

この組 $(T(X), \tau_X)$ が普遍性を満たすことを示す。
$Y$ を任意の Tychonoff 空間とし、$f: X \to Y$ を連続写像とする。
Tychonoff 空間 $Y$ も同様にして評価写像 $\Psi: Y \to \mathbb{R}^{C(Y, \mathbb{R})}$ を用いて埋め込むことができる。$Y$ は完全正則かつ Hausdorff空間 であるため、点と閉集合を分離する十分な連続関数が存在し、$\Psi$ は像 $\Psi(Y)$ への同相写像 (homeomorphism) となる。
任意の $g \in C(Y, \mathbb{R})$ に対して、合成 $g \circ f$ は $X$ から $\mathbb{R}$ への連続写像であるから、$C(X, \mathbb{R})$ の元である。
そこで、写像 $H: \mathbb{R}^{C(X, \mathbb{R})} \to \mathbb{R}^{C(Y, \mathbb{R})}$ を、座標 $(z_h)_{h \in C(X, \mathbb{R})}$ に対して、その $g$ 成分を $z_{g \circ f}$ とすることで定義する。各成分の写像は単なる射影であるから、$H$ は連続写像である。
任意の $x \in X$ について、$H(\Phi(x))_g = \Phi(x)_{g \circ f} = g(f(x)) = \Psi(f(x))_g$ となるため、$H \circ \Phi = \Psi \circ f$ が成り立つ。
これを像に制限すると、$H(T(X)) = H(\Phi(X)) = \Psi(f(X)) \subset \Psi(Y)$ である。
$\Psi$ は $Y$ から $\Psi(Y)$ への同相写像であるから、その逆写像 $\Psi^{-1}: \Psi(Y) \to Y$ が存在する。
写像 $\bar{f}: T(X) \to Y$ を $\bar{f} = \Psi^{-1} \circ H|_{T(X)}$ と定義する。これは連続写像の合成であるから連続である。
また、$\bar{f}(\tau_X(x)) = \Psi^{-1}(H(\Phi(x))) = \Psi^{-1}(\Psi(f(x))) = f(x)$ となるため、$\bar{f} \circ \tau_X = f$ を満たす。

最後に $\bar{f}$ の一意性を示す。
$\bar{f}_1, \bar{f}_2: T(X) \to Y$ が $\bar{f}_1 \circ \tau_X = \bar{f}_2 \circ \tau_X = f$ を満たすとする。
$\tau_X$ の定義から像は $\tau_X(X) = T(X)$ であり、全射である。したがって、任意の $z \in T(X)$ に対してある $x \in X$ が存在して $z = \tau_X(x)$ となり、$\bar{f}_1(z) = \bar{f}_1(\tau_X(x)) = f(x) = \bar{f}_2(\tau_X(x)) = \bar{f}_2(z)$ を得る。よって $\bar{f}_1 = \bar{f}_2$ である。(証明終)

証明 圏 $\mathrm{Tycho}$ からの図式関手 $D: J \to \mathrm{Tycho}$ が与えられたとする。これを $\mathrm{Top}$ の図式とみなす。$\mathrm{Top}$ は余完備であるから、余極限 $C = \varinjlim_{\mathrm{Top}} D$ が存在する。余角錐 (cocone) をなす普遍的な射の族を $u_j: D(j) \to C$ $(j \in J)$ とおく。

定理 8.1 より、位相空間 $C$ の Tychonoff化 $(T(C), \tau_C)$ が存在する。
各 $j \in J$ に対して、射 $v_j: D(j) \to T(C)$ を $v_j = \tau_C \circ u_j$ と定義する。
$T(C)$ は Tychonoff 空間であり、$v_j$ は連続である。図式 $J$ の任意の射 $\alpha: j \to k$ に対して $u_k \circ D(\alpha) = u_j$ であるから、$v_k \circ D(\alpha) = \tau_C \circ u_k \circ D(\alpha) = \tau_C \circ u_j = v_j$ が成り立つ。したがって $(T(C), (v_j))$ は $\mathrm{Tycho}$ における余角錐である。

これが $\mathrm{Tycho}$ において普遍性を持つことを示す。
$Y$ を任意の Tychonoff 空間とし、$(f_j: D(j) \to Y)$ を $\mathrm{Tycho}$ における余角錐とする。
これらは $\mathrm{Top}$ においても余角錐であるため、$C$ の $\mathrm{Top}$ における余極限の普遍性から、連続写像 $f: C \to Y$ がただ 1 つ存在して、$f \circ u_j = f_j$ を満たす。
$Y$ は Tychonoff 空間であるから、定理 8.1 の $T(C)$ の普遍性により、連続写像 $\bar{f}: T(C) \to Y$ がただ 1 つ存在して、$f = \bar{f} \circ \tau_C$ を満たす。
このとき、任意の $j \in J$ について、$\bar{f} \circ v_j = \bar{f} \circ \tau_C \circ u_j = f \circ u_j = f_j$ が成り立つ。

一意性について、$\bar{g}: T(C) \to Y$ がすべての $j \in J$ について $\bar{g} \circ v_j = f_j$ を満たしたとする。
このとき $(\bar{g} \circ \tau_C) \circ u_j = f_j$ となる。$C$ の普遍性により条件を満たす $C \to Y$ への写像は $f$ として一意であるから、$\bar{g} \circ \tau_C = f$ でなければならない。さらに $T(C)$ の普遍性により、$f$ を経由する写像は $\bar{f}$ と一意に定まるため、$\bar{g} = \bar{f}$ を得る。
以上より、$T(C)$ は図式 $D$ の $\mathrm{Tycho}$ における余極限 (colimit) である。したがって $\mathrm{Tycho}$ は余完備である。(証明終)